شاید پرکاربردترین فصل کل ریاضی کنکور همین فصل ساده اتحادهای جبری باشد که تقریباً دست روی هر بحث ریاضی کنکور از مثلثات و تابع گرفته تا هندسه بگذارید ردپایی از آن را خواهید دید .
در ادامه می‌خوانید
اتحادهای جبری
در گذشته اتحادهای زیادی را در دبیرستان به ما یاد می‌دادند که واقعاً چیز خاصی نبودند و راستش هیچ کاربردی در کنکور هم نداشتند .
مثلاً اتحاد لاگرانژ یا اتحاد اویلر عملاً هیچ وقت در ریاضی کنکور وجود نداشتند و فقط معلم‌ها برای ظاهرسازی کلاسشان که میزان خفن بودن خود را نشان دهند صحبت از این‌ها می‌کردند .
شما واقعا اگر ۵ اتحادی که در این ویدیو آموزش رایگان ریاضی کنکور آورده شده را یاد بگیرید برای کنکورتان کفایت می‌کند که البته قبل از یادگیری اتحادها باید به مفاهیم اولیه جبر که در جلسه قبلی آن را تدریس کرده ام مسلط باشید .
اتحاد مربع دو جملهای ( اتحاد اول )
قبلاً به اتحاد مربع دو جملهای به علت اینکه اولین اتحادی بود که تدریس می‌شد اتحاد اول هم می‌گفتند .
(a ± b)2 = a2 ± ۲ab + b2
بعضی‌ها به تفاضلشان اتحاد دوم هم می‌گفتند .
مربع کامل کردن
مهم‌تر از فهم اتحاد مربع دوجملهای فهمیدن مربع کامل کردن است که البته ابتدای دو جلسه بعد که به سراغ مفهوم معادله می‌رویم مفصل در مورد روشش صحبت خواهیم کرد و خواهید دید که معادله درجه دو و روش دلتا که در حل آن استفاده می‌شود در واقع حاصل مربع کامل کردن عبارت درجه ۲ است .
در فصل مقاطع مخروطی ، دایره ، بیضی و سهمی به شدت به این مفهوم نیاز پیدا خواهید کرد .
اتحاد مربع سه جمله ای
اتحاد مربع سه جمله ای بعضی وقت ها در ریاضی کنکور آمده است
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
اتحاد جمله مشترک
اتحاد جمله مشترک یک نتیجه گیری ساده از ضرب دو پرانتز است .
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab
این اتحاد در تجزیه‌ی عبارات جبری درجه ۲ نقش کلیدی و مهمی دارد .
نزدیک به نیمی از معادلات درجه دو در ریاضی کنکور با تجزیه‌ی جمله مشترک و بدون حل به راحتی حل میشوند و بسیاری از روابط بین ریشه های معادله درجه دو نیز با درک همین اتحاد جمله مشترک بسیار ساده و مفهوم خواهد بود .
در ویدیوی این قسمت تعداد زیادی مساله برای درک این اتحاد حل میکنم و در قسمت‌های بعدی آنقدر با آن مواجه می‌شوید که ملکه‌ی ذهنتان خواهد شد .
اتحاد مزدوج
اتحاد مزدوج حالت خاص و پر کاربردی از اتحاد جمله مشترک است که جملات غیر مشترک آن قرینه‌ی یکدیگرند .
a2 – b2= (a + b)(a – b)
این اتحاد جبری هم با تمرین زیاد و دیدن مسائل زیاد در ذهن شما جای خواهد گرفت .
در گویا کردن کسرها از این اتحاد بسیار استفاده می‌شود و همچنین در حل معادله رادیکالی اتحاد مزدوج نقش بسیار کلیدی و مهمی ایفا می کند .
اتحاد مکعب دوجملهای
اتحاد مکعب دوجملهای خیلی اتحاد پرکاربردی در ریاضی کنکور نیست اما دفعاتی در کنکور آمده است و راستش احتمال طرح سوال دارد و باید این اتحاد را همچون اتحادهای جبری دیگر که برای کنکور یاد می‌گیرید حفظ باشید .
(a ± b)3 = a3 ±b3 ± ۳ab (a ± b)
روش حفظ کردن راحت اتحاد مکعب دوجمله ای را هم در ویدیو توضیح دادم که البته یک خطای نوشتاری در ویدیو می بینید که بابت از همین الان عذر خواهی میکنم، اما تدریس هیچ ایرادی ندارد و خیالتان راحت راحت باشد .
اتحاد چاق و لاغر
اتحاد چاق و لاغر که بعضی ها به آن اتحاد فیل و فنجون هم می گویند در تجزیه‌ی عبارات جبری در تمامی مباحث مثل تابع و حد بسیار پر کاربرد است و یکی از اتحادهای مهم به حساب می‌آید که در گویا کردن کسرها که در انتهای این جلسه در موردش صحبت می‌کنیم بسیار کاربرد دارد .
a3 ± b3= (a ± b)(a2 + b2 ∓ ab)
جالب اینجاست که خیلی وقت ها در حل معادله مثلثاتی از اتحاد چاق و لاغر باید استفاده کنید که در جلسه مربوط به خودش مفصل در موردش صحبت خواهیم کرد .
همه اتحادهای جبری کنکور یکجا
حالا هرچی بالا در مورد اتحاد ها برای زدن تست های کنکور یاد گرفتید اینجا می بینید. یاد گرفتید در جدول زیر می توانید ببینید.
| اتحاد مربع دو جمله ای |
(a ± b)2 = a2 ± ۲ab + b2 |
| اتحاد مربع سه جمله ای |
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac |
| اتحاد جمله مشترک |
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab |
| اتحاد مزدوج |
a2 – b2= (a + b)(a – b) |
| اتحاد مکعب دو جمله ای |
(a ± b)3 = a3 ±b3 ± ۳ab (a ± b) |
| اتحاد چاق و لاغر |
a3 ± b3= (a ± b)(a2 + b2 ∓ ab) |
تقسیم عبارات جبری
عبارات جبری را همچون اعداد می‌توان بر هم تقسیم کرد .
این تقسیم دقیقاً مثل تقسیم اعداد مقسوم و مقسوم علیه دارد و حاصل این تقسیم باقی مانده و خارج قسمت نیز دارد که در ویدیوی این جلسه در موردش صحبت می‌کنیم .
تقسیم عبارات جبری را تا جایی ادامه می‌دهیم که درجهی باقی مانده یک درجه از مقسوم علیه کم‌تر شود .
در ابتدای فصل تابع صحبتی از روش تستی بدست آوردن باقی مانده تقسیم چند جملهای ها خواهیم کرد .
جدول هرنر
راستش را بخواهید تا ویدیو را نبینید با نوشته‌های اینجا خیلی متوجه بحث جدول هرنر نخواهید شد .
یکی از راه‌های میان بر و تستی در تقسیم عبارات جبری جدول هرنر یا جدول هورنر است .
من با اینکه علاقه چندانی به نکات تستی ندارم ، اما تاکید میکنم جدول هورنر را یاد بگیرید ، چون واقعاً روش پر کاربردی است .
در جدول هرنر مقسوم از هر درجهی طبیعی می‌تواند باشد و مقسوم علیه حتماً باید درجه یک باشد .
قانون اول دکارت
اگر مجموع ضرایب درجات یک کثیرالجمله برابر صفر باشد ، آن عبارت بر x-1 بخش پذیر است .
یعنی به عبارتی عدد ۱ یکی از ریشه‌های آن کثیرالجمله است .
راستش را بخواهید دکارت کار خاصی در این موضوع نکرده و واقعاً چیز خاصی نیست .
در واقع جمع کردن ضرایب پشت جملات کثیرالجمله دقیقاً مثل این است که عدد ۱ را به آن بدهیم .
در ویدیو این جلسه کاربرد قانون اول دکارت را مفصل توضیح خواهم داد .
قانون دوم دکارت
وقتی مجموع ضرایب درجات فرد با مجموع ضراب درجات زوج یک کثیرالجمله برابر باشند ، آن کثیرالجمله بر x+1 بخش پذیر است یا به عبارتی دیگر عدد -۱ یکی از ریشه‌های آن کثیرالجمله است .
در این مورد هم راستش دکارت کار هاصی نکرده است چون مسلماً وقتی -۱ را به یک عبارت کثیرالجمله دهیم در واقع انگار ضرایب درجات فرد را قرینه کرده و ضرایب درجات زوج را بدون تغییر علامت می‌گذاریم .
لطفاً به نوشته‌های اینجا اکتفا نکنید و حتماً ویدیو را ببینید .
تجزیه عبارات جبری
در مواردی برای ساده کردن عبارات جبری باید عبارات بسط داده شده را با استفاده از اتحادهای جبری به پرانتزهایی تبدیل کنیم که در هم ضرب میشوند .
در ریاضی کنکور اصل کاربرد اتحادها دقیقاً تجزیه عبارات جبری است .
رفع ابهام حد یکی از کاربردهای مهم تجزیه‌ی عبارات جبری است و همینطور توجه کنید که موضوع در حل معادله کسری بسیار بسیار حائز اهمیت است ، به نحوی که حل معادلات کسری بدون تسلط به تجزیه عبارت جبری تقریباً محال است .
در اصول حل تست‌های کنکور شما با واژه‌ی شسنگ که مخفف چهار سوال زیر است آشنا شدید .
۱- شبیه مساله را دیده‌ام ؟
۲- ساده می‌شود ؟
۳- نمودارش را می‌شناسم ؟
۴- گزینه‌های داخل تست کنکور کمک می‌کند ؟
همانطور که میبینید ساده کردن بخش مهمی از فرآیند دگرگون سازی مساله برای رسیدن به جواب است و تجزیه‌ی عبارات جبری یکی از مهم‌ترین ابزارهای ساده سازی مسائل ریاضی است .
فارغ از اینکه وقتی به تدریس مثلثات می رسم باید به بچه ها تفهیم کنم که مثلثات بیش از اینکه یک موضوع جبری باشد به دایره مثلثاتی مربوط است در فصل فرمول های مثلثات متوجه می‌شوید که اصلاً مثلثات سخت نیست و درواقع این ضعفی که بچه‌های کنکوری در تجزیه‌ی عبارات جبری و فهم اتحادها دارند است که موجب شده است که مثلثات کنکور سخت به نظر برسد .
لطفاً تجزیه‌ی عبارت جبری را جدی بگیرید چون هر آن‌چه بعد از این میبینید با آن سر و کار دارد و البته الان که در حل تست‌های ریاضی تازه کار هستید به خودتان سخت نگیرید .
در فصل‌های بعدی مثل معادله و نامعادله آنقدر در ویدیوها تجزیه کردن عبارات جبری را میبینید که ملکه ذهنتان خواهد شد .
گویا کردن مخرج کسر
کلاً ما دنبال ساده کردن محاسبات ریاضی هستیم و نمی‌توانیم هیچ عدد گنگی را در مخرج کسرها تحمل کنیم ، بنابراین تا مخرج کسری را می‌بینیم که رادیکالی است با استفاده از روش‌هایی که در ویدیو توضیح می‌دهم مخرج آن کسر را گویا می‌کنیم .
