دایره مثلثاتی

عناوین مقاله
در حال بارگذاری پخش کننده...

براساس آن چیزی که من در تاریخ خواندم نیوتن پیشنهاد داد یک دایره به شعاع ۱ را روی مرکز محورهای مختصات بکشیم تا یک مرجع خوب برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی داشته باشیم .

اسم این دایره مرجع دایره مثلثاتی است و انصافاً هم مدل خوبی را پیشنهاد داده است که در ادامه بیشتر در موردش صحبت می‌کنیم .

ربع‌های دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی یک دایره به مرکزیت مرکز محورهای مختصات است و دقیقاً همان ربع‌های محورهای مختصات را دارد .

نام گذاری ربع‌های مثلثاتی همان نامگذاری ربع‌عای محور‌های مختصات است که در جلسه محورهای مختصات تدریس کردیم و جهت حرکت ما بر روی آن پادساعتگرد است .

ربع‌های دایره مثلثاتی

نمایش سینوس بر روی دایره مثلثاتی

اگر انتهای کمان یک زاویه مانند α بر روی دایره مثلثاتی را بر روی محور yها تصویر کنیم ، طول پاره خطی که از مرکز تا نقطه تصویر روی محور yها بدست می‌آید برابر سینوس زاویه α ( sinα ) است .

سینوس مقداری بین -۱ تا +۱ است .

نمایش کسینوس بر روی دایره مثلثاتی

اگر انتهای کمان یک زاویه مانند α بر روی دایره مثلثاتی را بر روی محور xها تصویر کنیم ، طول پاره خطی که از مرکز تا نقطه تصویر روی محور xها بدست می‌آید برابر کسینوس زاویه α ( cosα ) است .

کسینوس هم همچون سینوس مقداری بین -۱ تا +۱ است .

نمایش تانژانت بر روی دایره مثلثاتی

اگر یک خط موازی محور yها بر دایره مثلثاتی مماس کنیم و انتهای کمان زاویه را تا خارج دایره ادامه دهیم تا به این خط برخورد کند نقطه‌ای به دست می‌آید که اگر طول پاره خط از مرکز آن خط را تا آن نقطه حساب کنیم مقدار تانژانت α ( tanα ) بدست می‌آید .

همانطور که در جلسه قبل گفتیم ، تانژانت هر مقداری از اعداد حقیقی می‌تواند باشد و دامنه‌ی آن در جاهایی که کسینوس برابر صفر است تعریف نشده است .

نمایش تانژانت بر روی دایره مثلثاتی

افزودن مضارب زوج π به کمان

مضارب زوج π مانند ۲π و ۴π یک دور کامل هستند و هیچ فرقی در نسبت‌های مثلثاتی ایجاد نمی‌کنند و داخل کمان هر نسبتی که دیده شوند می‌توان آن‌ها را حذف کرد که در ویدیو این جلسه کامل آن را توضیح داده‌ام .

زوایای معروف ۰ ، π/۲ ، π ، ۳π/۲

زاویه‌های صفر درجه ، ۹۰ درجه ، ۱۸۰ درجه و ۲۷۰ درجه زاویه‌های معروفی هستند که براساس تصویر زیر باید نسبت‌های مثلثاتی آن‌ها را حفظ باشید .

زوایای معروف ۰ ، π/۲ ، π ، ۳π/۲

فرمول‌های اولیه‌ی مثلثاتی

ساده‌ترین رابطه بین فرمول‌های مثلثاتی را در تصویر زیر می‌بینید .

براساس این فرمول‌های مثلثاتی کافیست یکی از نسبت‌های مثلثاتی را به شما بدهند مابقی قابل محاسبه می‌شوند .

سپس برای تعیین علامت پشت آن نسبت باید ربع مثلثاتی مربوطه را نیز بدانید .

در این قسمت مفصل روی این مدل مساله متمرکز خواهیم بود .

فرمول‌های اولیه‌ی مثلثاتی

سینوس و کسینوس زاویه منفی ( -α )

منفی داخل کمان سینوس به پشت آن منتقل می‌شود

sin(-α) = -sinα

منفی داخل کمان کسینوس از داخل آن حذف می‌شود

cos(-α) = cosα

در مورد تانژانت و کنتانژانت منفی داخل کمان همچون سینوس به پشت آن‌ها منتقل می‌شود

tan(-α) = -tanα
cot(-α) = -cotα
سینوس و کسینوس زاویه منفی ( -α )

افزودن مضارب فرد π به کمان

مضارب فرد π موجب تغییر علامت هم در سینوس و هم در کسینوس می‌شوند بنابراین مضارب فرد π تغییری در علامت تانژانت و کتانژانت نمی‌دهند .

sin(α±مضرب فرد π) = -sinα
cos(α±مضرب فرد π) = -cosα
tan(α±مضرب فرد π) = tanα
cot(α±مضرب فرد π) = cotα

البته این موضوع را به شکل کامل در ویدیوی این جلسه روی دایره مثلثاتی تشریح کردم و ذهن شما باید با دایره مثلثاتی خو بگیرد .

فهم دایره مثلثاتی یعنی فهم بهتر ریاضی کنکور

افزودن مضارب فرد π به کمان

افزودن مضارب فرد π/۲ به کمان

مضارب فرد π/۲ دو مرحله تغییر ایجاد می‌کند .

۱- ابتدا علامت پشت نسبت مثلثاتی را برمبنای ربع مثلثاتی که در آن قرار می‌گیرد تعیین می‌کنیم .

۲- افزودن مضارب فرد π/۲ به داخل کمان نسبت مثلثاتی سینوس را به کسینوس و بالعکس تبدیل می‌کند و تانژانت را به کتانژانت و بالعکس تبدیل می‌کند .

گیج شدید ؟ حق دارید

برای درک بهتر این موضوع لطفاً ویدیوی آموزش دایره مثلثاتی این جلسه را ببینید و واقعاً اینجا نمی‌توان این موضوع را توضیح داد .

افزودن مضارب فرد π/۲ به کمان

سه زاویه معروف π/۴ ، π/۶ ، π/۳

این سه زاویه معروف یعنی ۳۰ درجه ، ۴۵ درجه و ۶۰ درجه در هر ربع دایره مثلثاتی یک نماینده دارند که مقدار عددی سینوس و کسینوس و تانژانت یکسانی دارند اما علامت پشت آن‌ها تغییر می‌کند .

این قسمت را برای تعیین فاز مبحث موج و‌ نوسان فیزیک کنکور مفصل در این جلسه توضیح داده‌ام

سه زاویه معروف π/۴ ، π/۶ ، π/۳
سه زاویه معروف یعنی ۳۰ درجه ، ۴۵ درجه و ۶۰ درجه در هر ربع دایره مثلثاتی یک نماینده دارند

تانژانت α شیب خط است

در واقع tanα برابر با شیب خطی است که با محور xها زاویه α می‌سازد

شیب خط را در جلسه‌ی محورهای مختصات و هندسه تحلیلی مفصل توضیح دادم و حالا با استفاده از شیب خط شما می‌توانید زاویه‌ای که خط شما با محور xها در جهت پادساعتگرد می‌سازد را محاسبه کنید .

در این جلسه چند مثال خیلی خوب از این موضوع می‌زنم که کاربرد تانژانت در ریاضی کنکور را کامل درک کنید .

تانژانت α شیب خط است
محمد قاسمی
محمد قاسمی
محمد قاسمی هستم مدیر و و بنیانگذار کنکور تی وی هستم ، از سال 1391 در زمینه آموزش کنکور هستم . سایت کنکور تی وی را در سال 1392 جهت کاهش مشکلات تحصیلی و کنکور تاسیس کردم .
دیدگاه‌ خود را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *