براساس آن چیزی که من در تاریخ خواندم نیوتن پیشنهاد داد یک دایره به شعاع ۱ را روی مرکز محورهای مختصات بکشیم تا یک مرجع خوب برای محاسبه نسبت‌های مثلثاتی داشته باشیم .
اسم این دایره مرجع دایره مثلثاتی است و انصافاً هم مدل خوبی را پیشنهاد داده است که در ادامه بیشتر در موردش صحبت می‌کنیم .
در ادامه می‌خوانید
ربع‌های دایره مثلثاتی
دایره مثلثاتی یک دایره به مرکزیت مرکز محورهای مختصات است و دقیقاً همان ربع‌های محورهای مختصات را دارد .
نام گذاری ربع‌های مثلثاتی همان نامگذاری ربع‌عای محورهای مختصات است که در جلسه محورهای مختصات تدریس کردیم و جهت حرکت ما بر روی آن پادساعتگرد است .
نمایش سینوس بر روی دایره مثلثاتی
اگر انتهای کمان یک زاویه مانند α بر روی دایره مثلثاتی را بر روی محور yها تصویر کنیم ، طول پاره خطی که از مرکز تا نقطه تصویر روی محور yها بدست می‌آید برابر سینوس زاویه α ( sinα ) است .
سینوس مقداری بین -۱ تا +۱ است .
نمایش کسینوس بر روی دایره مثلثاتی
اگر انتهای کمان یک زاویه مانند α بر روی دایره مثلثاتی را بر روی محور xها تصویر کنیم ، طول پاره خطی که از مرکز تا نقطه تصویر روی محور xها بدست می‌آید برابر کسینوس زاویه α ( cosα ) است .
کسینوس هم همچون سینوس مقداری بین -۱ تا +۱ است .
نمایش تانژانت بر روی دایره مثلثاتی
اگر یک خط موازی محور yها بر دایره مثلثاتی مماس کنیم و انتهای کمان زاویه را تا خارج دایره ادامه دهیم تا به این خط برخورد کند نقطه‌ای به دست می‌آید که اگر طول پاره خط از مرکز آن خط را تا آن نقطه حساب کنیم مقدار تانژانت α ( tanα ) بدست می‌آید .
همانطور که در جلسه قبل گفتیم ، تانژانت هر مقداری از اعداد حقیقی می‌تواند باشد و دامنه‌ی آن در جاهایی که کسینوس برابر صفر است تعریف نشده است .
افزودن مضارب زوج π به کمان
مضارب زوج π مانند ۲π و ۴π یک دور کامل هستند و هیچ فرقی در نسبت‌های مثلثاتی ایجاد نمی‌کنند و داخل کمان هر نسبتی که دیده شوند می‌توان آن‌ها را حذف کرد که در ویدیو این جلسه کامل آن را توضیح داده‌ام .
زوایای معروف ۰ ، π/۲ ، π ، ۳π/۲
زاویه‌های صفر درجه ، ۹۰ درجه ، ۱۸۰ درجه و ۲۷۰ درجه زاویه‌های معروفی هستند که براساس تصویر زیر باید نسبت‌های مثلثاتی آن‌ها را حفظ باشید که البته اگر در جلسه قبلی که آشتی با مثلثات را مطرح کردم هنوز با مثلثات آشتی نکردید ممکن است در ادامه کمی دچار مشکل شوید .
فرمول‌های اولیه‌ی مثلثاتی
ساده‌ترین رابطه بین فرمول های مثلثاتی را در تصویر زیر می‌بینید .
براساس این فرمول‌های مثلثاتی کافیست یکی از نسبت‌های مثلثاتی را به شما بدهند مابقی قابل محاسبه می‌شوند .
سپس برای تعیین علامت پشت آن نسبت باید ربع مثلثاتی مربوطه را نیز بدانید .
در این قسمت مفصل روی این مدل مساله متمرکز خواهیم بود .
سینوس و کسینوس زاویه منفی ( -α )
منفی داخل کمان سینوس به پشت آن منتقل می‌شود
sin(-α) = -sinα
منفی داخل کمان کسینوس از داخل آن حذف می‌شود
cos(-α) = cosα
در مورد تانژانت و کنتانژانت منفی داخل کمان همچون سینوس به پشت آن‌ها منتقل می‌شود
tan(-α) = -tanα
cot(-α) = -cotα
افزودن مضارب فرد π به کمان
مضارب فرد π موجب تغییر علامت هم در سینوس و هم در کسینوس می‌شوند بنابراین مضارب فرد π تغییری در علامت تانژانت و کتانژانت نمی‌دهند .
sin(α±مضرب فرد π) = -sinα
cos(α±مضرب فرد π) = -cosα
tan(α±مضرب فرد π) = tanα
cot(α±مضرب فرد π) = cotα
البته این موضوع را به شکل کامل در ویدیوی این جلسه روی دایره مثلثاتی تشریح کردم و ذهن شما باید با دایره مثلثاتی خو بگیرد .
فهم دایره مثلثاتی یعنی فهم بهتر ریاضی کنکور و در دو جلسه بعدی که به معادله مثلثاتی می رسیم خواهید دید که دلیل اینکه خیلی از بچه ها با حل معادلات مثلثاتی مشکل دارند دقیقاً بخاطر این است که بر دایره مثلثاتی تسلط ندارند .
افزودن مضارب فرد π/۲ به کمان
مضارب فرد π/۲ دو مرحله تغییر ایجاد می‌کند .
۱- ابتدا علامت پشت نسبت مثلثاتی را برمبنای ربع مثلثاتی که در آن قرار می‌گیرد تعیین می‌کنیم .
۲- افزودن مضارب فرد π/۲ به داخل کمان نسبت مثلثاتی سینوس را به کسینوس و بالعکس تبدیل می‌کند و تانژانت را به کتانژانت و بالعکس تبدیل می‌کند .
گیج شدید ؟ حق دارید
برای درک بهتر این موضوع لطفاً ویدیوی آموزش دایره مثلثاتی این جلسه را ببینید و واقعاً اینجا نمی‌توان این موضوع را توضیح داد .
سه زاویه معروف π/۴ ، π/۶ ، π/۳
این سه زاویه معروف یعنی ۳۰ درجه ، ۴۵ درجه و ۶۰ درجه در هر ربع دایره مثلثاتی یک نماینده دارند که مقدار عددی سینوس و کسینوس و تانژانت یکسانی دارند اما علامت پشت آن‌ها تغییر می‌کند .
این قسمت را برای تعیین فاز مبحث موج و نوسان فیزیک کنکور مفصل در این جلسه توضیح داده‌ام
تانژانت α شیب خط است
در واقع tanα برابر با شیب خطی است که با محور xها زاویه α می‌سازد
شیب خط را در جلسه‌ی محورهای مختصات و هندسه تحلیلی مفصل توضیح دادم و حالا با استفاده از شیب خط شما می‌توانید زاویه‌ای که خط شما با محور xها در جهت پادساعتگرد می‌سازد را محاسبه کنید .
در این جلسه چند مثال خیلی خوب از این موضوع می‌زنم که کاربرد تانژانت در ریاضی کنکور را کامل درک کنید .
