دنباله هندسی | تصاعد هندسی

جلسه‌ی قبل با مفهوم دنباله و دنباله‌‌ی حسابی یا تصاعد حسابی آشنا شدید و تمام تیپ‌های سوالات کنکور آن را درک کردید .

در این جلسه در مورد دنباله هندسی صحبت خواهیم کرد و تمام مدل‌های طرح تست کنکورش را بررسی می‌کنیم .

دنباله هندسی

دنباله‌ای که از جمله دوم به بعد در یک عدد ثابت مثل q ضرب می‌شود مانند مثال زیر :

{ ۲ ، ۶ ، ۱۸ ، ۵۴ ، … }

در دنباله‌ی هندسی که در بالا می‌بینید عدد ۲ جمله‌ی اول است و جملات بعدی آن دائم در عدد ۳ ضرب می‌شوند .

قدر نسبت دنباله هندسی

همانند دنباله حسابی ، دنباله هندسی دارای قدر نشبت است . در دنباله حسابی به عدد ثابتی که با جملات جمع می‌شد قدر نسبت می‌گفتیم و در دنباله هندسی به عددی که در جملات ضرب می‌شود و جمله‌ی بعدی را می‌سازد قدر نسبت دنباله‌ی هندسی می‌گوییم .

جمله عمومی دنباله هندسی

برای نوشتن جمله‌ی عمومی دنباله هندسی همانند دنباله حسابی کافیست جمله‌ی اول و قدر نسبت را داشته باشید و راستش را بخواهید تمام تست‌ها بدون هیچ‌ نکته خاصی با بدست آوردن جمله‌ی اول و قدر نسبت حل می‌شوند .

بنابر تعریف تقسیم یک جمله از تصاعد هندسی بر جمله قبلش برابر با قدر نسبت آن دنباله هندسی خواهد بود .

واسطه هندسی

همانطور که در دنباله حسابی واسطه‌ی حشابی یا واسطه‌ی عددی داشتیم ، در دنباله هندسی واسطه‌ی هندسی داریم .

وقتی سه جمله متوالی از یک دنباله هندسی داشته باشیم ، جمله‌ی وسطی واسطه‌ی هندسی جمله‌های قبل و بعدش است .

فرمول آن را در تصویر زیر می‌بینید و کاربردش را به شکل کامل در ویدیو آموزش ریاضی کنکور این جلسه گفتم .

در واقع اگر ۳ جمله متوالی از دنباله هندسی را در نظر بگیریم ، حاصل ضرب جمله اول در جمله سوم برابر با جمله‌ دوم به توان ۲ است .

سه جمله متوالی از دنباله هندسی

همانطور که در بالا شرح دادم رابطه‌ی بین ۳ جمله‌ی متوالی از دنباله هندسی را می‌توان این گونه در نظر گرفت که جمله‌ی وسطی در واقع واسطه‌ی هندسی جمله‌ی اول و سوم است .

دنباله هندسی نزولی

وقتی قدر نسبت دنباله هندسی عددی بین صفر تا ۱ باشد هر بار که در جمله‌ی قبلش ضرب می‌شود جمله‌ای کوچکتر می‌سازد .

دنباله هندسی که قدر نسبت آن عددی بین صفر تا یک است یک دنباله هندسی نزولی است .

درج واسطه هندسی

برای درک این موضوع باید جمله‌ی عمومی دنباله‌ی هندشی ملکه‌ی ذهنتان شده باشد .

مثلاً اگر بگوید بین ۲ و ۵۴ دو واسطه‌ی هندسی درج کنید ، عدد ۲ جمله اول بوده و عدد ۵۴ جمله چهارم است و بر این مبنا جمله اول و قدر نسبت را با استفاده از جمله‌ی عمومی بدست می‌آورید و دو جمله‌ی وسطی مشخص می‌شوند .

هیچ نکته‌ای هم در این رابطه وجود ندارد و تنها راهش همینی است که در ویدیو مفصل آن را توضیح می‌دهم .

ترکیب دنباله حسابی و هندسی

در برخی مسائل دنباله‌ها شما با ترکیب دنباله‌ی هندسی و دنباله حسابی مواجه هستید .

معمولاً به این شکل تست کنکور طرح می‌شود که ۳ جمله متوالی از دنباله هندسی تشکیل دنباله حسابی می‌دهند یا بالعکس سه جمله‌ی n ، m ، p از تصاعد حسابی تشکیل دنباله‌ی هندسی می‌دهند

در این حالت راه اصلی همانی است که در ویدیو می‌گوییم ، اما می‌توان یک نکته ساده را هم یاد گرفت .

مجموع جملات دنباله هندسی n ، m ، p از یک دنباله حسابی برابر با تفاضل اندیس‌های دو جمله بزرگ‌تر تقسیم بر تفاضل اندیس‌های دو جمله کوچکتر است .

متوجه نشدید ؟ حق دارید

این بخش رو به شکل کامل در ویدیو توضیح دادم و واقعاً نمی‌توان با نوشته‌های در سایت آن را بیان کرد .

مجموع جملات دنباله هندسی

مجموع جملات دنباله هندسی خوشبختانه همچون مجموع جملات دنباله حسابی از کتاب بچه‌های رشته‌ی تجربی حذف شده است اما برای بچه‌های رشته ریاضی آن را تدریس خواهم کرد .

حد مجموع

این بحث در مورد دنباله‌ی هندسی نزولی مطرح می‌شود و کلاً از کتب درسی حذف شده است .