دستگاه مختصات و هندسه تحلیلی

زمان حدودی مطالعه : ۴ دقیقه ⏱

از ریاضی اول دبستان سعی داشتند نمود عینی برای نمایش اعداد به ما بدهند .

این تلاش برای عینی کردن اعداد که از دبستان برای ما شروع کردند در واقع همان تلاشی است که ریاضیدانان سال‌هاست انجام می‌دهند و دستگاه‌های نمایش اعداد را تعریف می‌کنند .

نمایش عدد بر روی محور یک بعدی

روشی که در اول دبستان برای نمایش اعداد به ما یاد دادند همین روش بود که اتفاقاً در ریاضی کنکور هم کاربرد دارد .

محور مختصات تک بعدی در واقع برای نمایش مختصات یک عدد روی طول یک خط است .

تعجب نکنید ، در مبحث تعیبن علامت و معادله ما برای اشتراک گرفتن یا اجتماع گرفتن محدوده‌هایی که بدست آوردیم ، محدوده‌ها را بر روی محور یک بعدی ترسیم می‌کنیم .

محورهای مختصات دکارتی ( دو بعدی )

محورهای مختصات دکارتی یا محورهای مختصاتی کارتزین مهم‌ترین ابزار نمایش اعداد دوتایی مرتب یا زوج مرتب است .

در واقع قصد دکارت مشخص کردن یا مختصات دادن به نقاط موجود در یک صفحه بود و این مدل سازی ریاضی هنوز هم قابل استفاده است .

ما تمام نمودارهای توابع را در این محیط ترسیم می‌کنیم و علوم مهندسی وابستگی شدیدی به این دستگاه مختصات دارد .

البته در ویدیوی این جلسه فقط در مورد خط و نقطه صحبت می‌کنیم و در جلسات بعدی و در مبحث تابع مفصل در مورد منحنی‌ها هم صحبت خواهیم کرد .

نامی که کتاب درسی ریاضی شما روی این فصل گذاشته است ( هندسه تحیلی ) است که با اینکه نام درستی است اما باید بدانید هندسه تحلیلی بحثی بسیار گسترده‌تر از آن چیزی است که در حد خط و نقطه در این جلسه بررسی می‌کنیم .

هندسه تحلیلی قبلاً کتابی جدا در رشته ریاضی بود که مباحثی واقعاً سنگین در دل خود داشت که البته چون خیلی شهودی بودند با کمی تمرین تست‌هایشان در کنکور خیلی راحت حل می‌شد .

ماتریس و دترمینان و مبحث بردار از ابزارهای مهم هندسه تحلیلی هستند که خوشبختانه برای بچه‌های رشته تجربی حذف شدند ، اما بچه‌های رشته ریاضی آن را دارند .

البته در درس فیزیک همواره با بردار سر و کار دارید و بچه‌های رشته ریاضی ضرب داخلی بردارها و ضرب خارجی بردارها را همواره می‌خوانند .

مقاطع مخروطی هم بخشی از کتاب هندسه تحیلی رشته ریاضی بود و بچه‌های رشته تجربی هم آن را داشتند و خوشبختانه هذلولی حتی از رشته ریاضی هم به طور کامل حذف شد و فقط دایره و بیضی و سهمی را می‌خوانیم .

مبحث درگیر کننده دیگری که در کتاب هندسه تحلیلی رشته ریاضی داشتیم بحث خط و صفحه بود که آن هم به طور کامل حذف شد .

بنابراین به نظرم بهتر بود اسم این فصل را شناخت دستگاه مختصات دکارتی و خواص نقطه و خط می‌گذاشتند .

فاصله دو نقطه از هم

طول پاره خطی که دو نقطه را به هم وصل می‌کند فاصله‌ی بین دو نقطه است که از قضیه‌ی فیثاغورث بدست می‌آید .

در بدست آوردن تعاریف مکان‌های هندسی مثل دایره و بیضی از این فرمول خیلی استفاده می‌شود .

مختصات وسط پاره خط

طول و عرض مختصات وسط پاره خطی که دو نقطه را به هم وصل می‌کند در واقع میانگین طول و عرض آن دو نقطه است .

معادله خط

به فرمول ریاضی درجه یک که ورودی آن مختصات روی محور x را نشان دهد و خروجی آن مختصات روی محور yها را نشان دهد معادله خط می‌گویند .
در فصل تابع به خط تابع خطی یا تابع درجه یک هم می گوییم که دامنه تابع آن تمام اعداد حقیقی هستند .

شکل استاندارد آن مانند زیر است :

y = mx + h

شیب خط m

ضریب x در فرم استاندارد معادله خط همان شیب خط است .

اگر دو نقطه از خط را داشته باشیم و تفاضل عرض‌هایشان را بر تفاضل طول‌هایشان تقسیم کنیم شیب خط بدست می‌آید .

شیب خط در واقع میزان تندی زاویه‌ی خط نسبت به محور xها را نشان می‌دهد .

هرچه شیب خط بیشتر باشد ، زاویه‌ای که آن خط با محور x می‌سازد تندتر است .

بعدها در بخش دایره مثلثاتی یاد می‌گیریم که شیب خط با tan تانژانت زاویه‌ای که آن خط با محور x می‌سازد برابر است .

عرض از مبدا h

آن عدد ثابتی که در معادله استاندارد خط می‌بینید در واقع عرض از مبدا است که در واقع عرض نقطه برخورد خط با محور yها است .

با داشتن شیب خط و عرض از مبدا می‌توان معادله خط را نوشت .

معادله خط عمود

در واقع با داشتن دو نقطه از خط می‌توانیم شیب خط را بدست آوریم و با احتساب یکی از نقاط معادله آن خط را بنویسیم که در ویدیو مفصل آن را توضیح دادم .

شیب خط عمود بر یک خط ، قرینه و‌معکوس شیب آن خط است .

سپس باید نقطه تلاقی این خط عمود را با خط مورد نظر تعیین کنید .

معادله خط عمود در بحث مشتق به سراغ شما خواهد آمد .

معادله خط‌های خاص

۴مدل معادله خط معروف داریم که باید آن‌ها را بشناسید :

خط افقی

y = k و شیب خط صفر

خط قائم

x = t و شیب خط تعریف نشده

نیمساز ناحیه اول و سوم

غیب گویی چشم بسته : شیب این خط برابر ۱ و عرض از مبدا آن صفر است

نیمساز ناحیه دوم و چهارم

y = -x

غیب گویی چشم بسته : شیب این خط -۱ و عرض از مبدا آن صفر است .

y = x که به آن تابع همانی هم می‌گویند
این خط در فصل تابع وارون نقش کلیدی دارد .

این خطوط خاص را در ریاضی کنکور زیاد خواهید دید .

فاصله نقطه از خط

طول پاره خطی که از یک نقطه بر یک خط عمود می‌کنیم را فاصله‌ی آن نقطه از آن خط می‌گوییم و از فرمول زیر بدست می‌آید .

این موضع را با دیدن ویدیو این قسمت به شکل کامل درک خواهید کرد .

وضعیت نسبی دو خط

دوخط در صفحه به سه حالت زیر دیده می‌شوند :

۱- متقاطع

۲- موازی

۳- منطبق

این سه حالت را می‌توان با بررسی فرمول گسترده خط درک کرد .

در حالتی راحت تر هم می‌شه در موردش صحبت کرد .

اگر شیب دو خط مساوی نباشند قطعاً متقاطعند

اگر شیب دو خط مساوی باشند دو خط مورد نظر در صورتی که عرض از مبدا یکسانی داشته باشند منطبق هستند و اگر عرض از مبدا یکسانی نداشته باشند موازی هستند .

فاصله دو خط موازی

دو خط موازی فاصله ثابتی نسبت به هم دارند و این فاصله با فرمولی که در ویدیو می‌گوییم قابل محاسبه است .

سخن پایانی :

این جلسه سه فرمول مهم دارد که باید حفظ کنید :

۱- فرمول فاصله دو نقطه

۲- فرمول فاصله نقطه از خط

۳- فرمول فاصله‌ی دو خط موازی

و باید مفهوم شیب خط و معادله خط و دستگاه مختصات را درک کرده باشید .