دستگاه مختصات و هندسه تحلیلی

عناوین مقاله
در حال بارگذاری پخش کننده...

از ریاضی اول دبستان سعی داشتند نمود عینی برای نمایش اعداد به ما بدهند .

این تلاش برای عینی کردن اعداد که از دبستان برای ما شروع کردند در واقع همان تلاشی است که ریاضیدانان سال‌هاست انجام می‌دهند و دستگاه‌های نمایش اعداد را تعریف می‌کنند .

نمایش عدد بر روی محور یک بعدی

روشی که در اول دبستان برای نمایش اعداد به ما یاد دادند همین روش بود که اتفاقاً در ریاضی کنکور هم کاربرد دارد .

محور مختصات تک بعدی در واقع برای نمایش مختصات یک عدد روی طول یک خط است .

تعجب نکنید ، در مبحث تعیبن علامت و معادله ما برای اشتراک گرفتن یا اجتماع گرفتن محدوده‌هایی که بدست آوردیم ، محدوده‌ها را بر روی محور یک بعدی ترسیم می‌کنیم .

نمایش عدد بر روی محور یک بعدی

محورهای مختصات دکارتی ( دو بعدی )

محورهای مختصات دکارتی یا محورهای مختصاتی کارتزین مهم‌ترین ابزار نمایش اعداد دوتایی مرتب یا زوج مرتب است .

در واقع قصد دکارت مشخص کردن یا مختصات دادن به نقاط موجود در یک صفحه بود و این مدل سازی ریاضی هنوز هم قابل استفاده است .

ما تمام نمودارهای توابع را در این محیط ترسیم می‌کنیم و علوم مهندسی وابستگی شدیدی به این دستگاه مختصات دارد .

البته در ویدیوی این جلسه فقط در مورد خط و نقطه صحبت می‌کنیم و در جلسات بعدی و در مبحث تابع مفصل در مورد منحنی‌ها هم صحبت خواهیم کرد .

نامی که کتاب درسی ریاضی شما روی این فصل گذاشته است ( هندسه تحیلی ) است که با اینکه نام درستی است اما باید بدانید هندسه تحلیلی بحثی بسیار گسترده‌تر از آن چیزی است که در حد خط و نقطه در این جلسه بررسی می‌کنیم .

هندسه تحلیلی قبلاً کتابی جدا در رشته ریاضی بود که مباحثی واقعاً سنگین در دل خود داشت که البته چون خیلی شهودی بودند با کمی تمرین تست‌هایشان در کنکور خیلی راحت حل می‌شد .

ماتریس و دترمینان و مبحث بردار از ابزارهای مهم هندسه تحلیلی هستند که خوشبختانه برای بچه‌های رشته تجربی حذف شدند ، اما بچه‌های رشته ریاضی آن را دارند .

البته در درس فیزیک همواره با بردار سر و کار دارید و بچه‌های رشته ریاضی ضرب داخلی بردارها و ضرب خارجی بردارها را همواره می‌خوانند .

مقاطع مخروطی هم بخشی از کتاب هندسه تحیلی رشته ریاضی بود و بچه‌های رشته تجربی هم آن را داشتند و خوشبختانه هذلولی حتی از رشته ریاضی هم به طور کامل حذف شد و فقط دایره و بیضی و سهمی را می‌خوانیم .

مبحث درگیر کننده دیگری که در کتاب هندسه تحلیلی رشته ریاضی داشتیم بحث خط و صفحه بود که آن هم به طور کامل حذف شد .

بنابراین به نظرم بهتر بود اسم این فصل را شناخت دستگاه مختصات دکارتی و خواص نقطه و خط می‌گذاشتند .

محورهای مختصات دکارتی ( دو بعدی )

فاصله دو نقطه از هم

طول پاره خطی که دو نقطه را به هم وصل می‌کند فاصله‌ی بین دو نقطه است که از قضیه‌ی فیثاغورث بدست می‌آید .

در بدست آوردن تعاریف مکان‌های هندسی مثل دایره و بیضی از این فرمول خیلی استفاده می‌شود .

فاصله دو نقطه از هم

مختصات وسط پاره خط

طول و عرض مختصات وسط پاره خطی که دو نقطه را به هم وصل می‌کند در واقع میانگین طول و عرض آن دو نقطه است .

مختصات وسط پاره خط

معادله خط

به فرمول ریاضی درجه ۱ که ورودی آن مختصات روی محور x را نشان دهد و خروجی آن مختصات روی محور yها را نشان دهد معادله خط می‌گویند .

شکل استاندارد آن مانند زیر است :

y = mx + h
معادله خط

شیب خط m

ضریب x در فرم استاندارد معادله خط همان شیب خط است .

اگر دو نقطه از خط را داشته باشیم و تفاضل عرض‌هایشان را بر تفاضل طول‌هایشان تقسیم کنیم شیب خط بدست می‌آید .

شیب خط در واقع میزان تندی زاویه‌ی خط نسبت به محور xها را نشان می‌دهد .

هرچه شیب خط بیشتر باشد ، زاویه‌ای که آن خط با محور x می‌سازد تندتر است .

بعدها در بخش دلیره مثلثاتی یاد می‌گیریم که شیب خط با tan زاویه‌ای که آن خط با محور x می‌سازد برابر است .

عرض از مبدا h

آن عدد ثابتی که در معادله استاندارد خط می‌بینید در واقع عرض از مبدا است که در واقع عرض نقطه برخورد خط با محور yها است .

با داشتن شیب خط و عرض از مبدا می‌توان معادله خط را نوشت .

در واقع با داشتن دو نقطه از خط می‌توانیم شیب خط را بدست آوریم و با احتساب یکی از نقاط معادله آن خط را بنویسیم که در ویدیو مفصل آن را توضیح دادم .

معادله خط عمود

شیب خط عمود بر یک خط ، قرینه و‌معکوس شیب آن خط است .

سپس باید نقطه تلاقی این خط عمود را با خط مورد نظر تعیین کنید .

معادله خط عمود در بحث مشتق به سراغ شما خواهد آمد .

کنکور 45

معادله خط‌های خاص

۴مدل معادله خط معروف داریم که باید آن‌ها را بشناسید :

خط افقی

y = k و شیب خط صفر

خط قائم

x = t و شیب خط تعریف نشده

معادله خط قائم و معادله خط افقی

نیمساز ناحیه اول و سوم

y = x که به آن تابع همانی هم می‌گویند

غیب گویی چشم بسته : شیب این خط برابر ۱ و عرض از مبدا آن صفر است

نیمساز ناحیه دوم و چهارم

y = -x

غیب گویی چشم بسته : شیب این خط -۱ و عرض از مبدا آن صفر است .

این خطوط خاص را در ریاضی کنکور زیاد خواهید دید .

نیمساز ناحیه اول و سوم و نیمساز ناحیه دوم و چهارم

فاصله نقطه از خط

طول پاره خطی که از یک نقطه بر یک خط عمود می‌کنیم را فاصله‌ی آن نقطه از آن خط می‌گوییم و از فرمول زیر بدست می‌آید .

این موضع را با دیدن ویدیو این قسمت به شکل کامل درک خواهید کرد .

فاصله نقطه از خط

وضعیت نسبی دو خط

دوخط در صفحه به سه حالت زیر دیده می‌شوند :

۱- متقاطع

۲- موازی

۳- منطبق

این سه حالت را می‌توان با بررسی فرمول گسترده خط درک کرد .

در حالتی راحت تر هم می‌شه در موردش صحبت کرد .

اگر شیب دو خط مساوی نباشند قطعاً متقاطعند

اگر شیب دو خط مساوی باشند دو خط مورد نظر در صورتی که عرض از مبدا یکسانی داشته باشند منطبق هستند و اگر عرض از مبدا یکسانی نداشته باشند موازی هستند .

وضعیت نسبی دو خط

فاصله دو خط موازی

دو خط موازی فاصله ثابتی نسبت به هم دارند و این فاصله با فرمولی که در ویدیو می‌گوییم قابل محاسبه است .

فاصله دو خط موازی

سخن پایانی :

این جلسه سه فرمول مهم دارد که باید حفظ کنید :

۱- فرمول فاصله دو نقطه

۲- فرمول فاصله نقطه از خط

۳- فرمول فاصله‌ی دو خط موازی

و باید مفهوم شیب خط و معادله خط و دستگاه مختصات را درک کرده باشید .

محمد قاسمی
محمد قاسمی
محمد قاسمی هستم مدیر و و بنیانگذار کنکور تی وی هستم ، از سال 1391 در زمینه آموزش کنکور هستم . سایت کنکور تی وی را در سال 1392 جهت کاهش مشکلات تحصیلی و کنکور تاسیس کردم .
دیدگاه‌ خود را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *