کنکور و تاریخ و خاستگاه حد

حتماً اهمیت بحث حد را در کنکور ریاضی و کنکور تجربی می دانید و واقف هستید که طراح کنکور چقدر روی این بحث تمرکز دارد و تست های مهم و البته آسانی را در کنکور به خود اختصاص

می دهد .

در خیلی از کلاس های کنکور خیلی اوقات در این رابطه

سوال می شود که چگونه این بحثی که قرار است پوست مارا در کنکور بکند اصلاً در ریاضی به میان آمده . . .

خب قبل این باید بحث توابع که اهمیت فراوانی در کنکور دارد را به خوبی یاد بگیرید تا توضیحات زیر را درک کنید .

مساله ی اصلی اینجا بود که وقتی توابع تعریف می شدند در برخی موارد که توابع ساده می شدند دامنه نیز دچار تغییر می شد و این از لحاظ ریاضیات مقبول نیست که دامنه ی تعریف یک تابع دست بخورد .

مثلاً به نظر شما دو تابع زیر برابر هستند ؟A0001

درست است پس از ساده کردن هر دو به یک شکل در می آیند اما ریاضیات محض به ما حق ساده کردن را نمی دهد چون دامنه ی تابع f نیز نباید تغییر کند و می بینیم که ریشه ی مخرج تابع f دامنه را نسبت به عدد 1 محدود کرده .

پس در نتیجه خیلی ساده ریاضی می توانست بگوید که این دو تابع برابر نیستند ، و یک مشکل بزرگ پدید آمده بود که نمی شد خیلی از مسائل را با دید سخت گیرانه ی ریاضی محض حل کرد .

دانشمندان ریاضی قبل از این که بتوانند مفهوم دقیقی از حد را مطرح کنند در مورد آن بحث میکردند . مردم یونان قدیم درکی از این مفهوم داشتند . .German Expressionism Hubert Roestenburg Docklands Canary Wharf London L 2

مثلاً آقای ارشمیدس مقدر تقریبی 2پی را بااستفاده از محیط چندضلعی های منتظم محاط شده در دایره به شعاع یک وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد را محاسبه کرد.در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس انواع مفاهیم حد برای به دست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته بود.

نیوتون و لابنیتس در قرن هفدهم درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند که مثال آن ها در مشتق و انتگرال بارز است ، اما نه آنها و نه در آن قرن دانشمندان و ریاضی دانان بزرگ تعریف دقیقی از حد را ارائه نکردند .

یک قرن پس از پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال آلبمبرت در سال 1754 عنوان کرد که پایه ی منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حد است.
کشی شوارتس در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را تعریف کرد و قدومی مهمی در این زمینه برداشت .


* وقتی که مقادیر متوالی که به یک متغیر نسبت داده میشود بی نهایت به عدد ثابتی تزدیک شوند به 1 288طوری که اختلاف آنها از مقادیر ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد.این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر میگویند .

البته تعریف فوق بسیار تعریف دقیق و علمی است و در حد اندازه ی دبیرستان لازم نیست آن را یاد بگیرید ، اما یادگیری و فهم آن بسیار در به خاطر سپاری و مفهومی کردن موضوع در ذهن شما کمک می کند .
ولی تعریف او از حد باز هم دقیق نبود اما یک شروع خیلی خوب بود .
تا اینکه در نهایت امر ویراشتراس در قرن نوزدهم تعریف دقیق حد را مطرح کرد که همواره مورد استفاده ی ریاضی دانان و علوم مهندسی است.

اما قبل تمام دانشمندان ایده ی اولیه ی تسلیم ریاضیات محض در برابر نیاز هایی که به قضایای حد بود در سال 1640 توسط آقای فرما انجام گرفت .

 

آقای فرما تصمیم گرفت که این سد سخت گیرانه ی ریاضی محض را بشکند .Speed Limiter

ایشان اظهار داشتند که ما لزومی ندارد دقیقاً به روی نقطه ای که مد نظر است قرار بگیریم و کافیست نقطه ای آنقدر نزدیک به نقطه ی اصلی را انتخاب کنیم که فاصله ی نقطه ی اصلی و نقطه ی انتخابی ما آن قدر کم باشد که حتی از اپسیلون که کوچکترین واحد سازنده ی ریاضی است هم این فاصله کمتر باشد .

در واقعیت امر ریاضی اینجا مجبور شد تسلیم شود تا خیلی از مسائل که تا آن موقع قابل حل نبود به واسطه ی حرف آقای فرما حل شود مانند تعریف مشتق و قضیه ی اساسی دیفرانسیل که نیوتن و لایپ نیتس از آن ها بسیار استفاده کردند .

 در واقع سخن آقای فرما را می توانیم در نمودار انیمیشن زیر به وضوح لمس کنیم .

 البته باید ذکر کنم که یادگیری تعریفات پایه ای حد برای رشته ی تجربی لازم نیست و خواندن این مطلب در واقع کمک به یادگیری آن ها می کند ، اما بچه های رشته ی ریاضی باید قواعد آن را به خوبی یاد بگیرند .

بعد آن آقای فرما با شکستن این سد عظیم که در برابر اثبات قضایای ریاضی قد علم کرده بود آمد و حالات ابهام در مقدار دهی به توابع را به صورت رفع ابهام حدی تعریف کرد و نکته ی جالب اینجاست که قبل از تعریف رفع ابهامات دو مفهوم اپسیلون و بی نهایت را نیز تعریف کرد که به هیچ وجه از طرف ریاضی دانان زمان خودش مقبول نبود .

اما با استدلال محکم حرف خود را به کرسی نشاند .

اپسیلون : کوچکترین واحد سازنده ی ریاضی

بی نهایت : تقسیم یک عدد بر اپسیلون آن را به بی شمار قسمت تقسیم می کند که شمارا نیست و آن را بی نهایت نام نهاد

حال حالات ابهام زیر را تک به تک تعریف کرد :

Rafeebham

بعد از این سؤالاتی پدید آمد که وی آن ها را با عدد دهی و نزدیک کردن مقادیر حدی به مقدار اصلی توجیه کرد 

برای درک این توجیه به انیمیشن زیر توجه کنید :

 

هر چند توجیه عددی بالا برای ریاضیات استنتاجی مقبول نبود اما به هر حال ریاضی با استفاده از استقرا به حدس هایی می رسد که دست به استنتاج بزند و این پایه ای شد تا بحث حد آغاز گردد .

بعد ها نیوتن این سؤال را به میان آورد که از کدام سمت باید به نقطه ی مورد نظر نزدیک شد و حد آن را محاسبه کرد ؟

از سمت چپ یا از سمت راست ؟

بعد از این نیوتن موضوع دیگری را مطرح کرد که الان از جهاتی بسیار پر اهمیت می نماید .

او گفت باید بدانیم از سمت راست به نقطه ی مورد نظر نزدیک می شویم یا از سمت چپ .

اینجا بود که تعریف حد راست و چپ پدید آمد که اینطور گفته میشد که اگر از سمت راست به نقطه ی x = a نزدیک شویم در واقع مقدار حدی مورد نظر یک اپسیلون از a بیشتر و اگر از سمت چپ به a نزدیک شویم در واقع یک اپسیلون از a بیشتر را هدف قرار داده ایم .

این موضوع را تحت تعریف ریاضی زیر بیان کرد :

A0001

بحث حد چپ و راست معمولاً در قالب قدر مطلق و براکت در مسائل مشکل ساز می شود .

کلیت حد زمانی تکامل پیدا کرد که تعریف شد هر گاه در نقطه ای حد راست و چپ و مقدار تابع هر سه با هم برابر باشند می گوییم در آن نقطه حد وجود دارد و در غیر اینصورت در آن نقطه حد وجود نخواهد داشت که بیشتر این موضوع در توابع دو ضابطه ای ، قدر مطلقی و براکتی سؤال ساز می شود .

تا آن موقع قسمتی از مسائل حدی نیز به کمک اطلاعاتی که به دست آمده بود حل می شد که عبارت بودند از :

1 - محاسبه ی حد با جایگذاری مستقیم

2 - محاسبه ی حد با ساده کردن

3 - محاسبه ی حد با استفاده از تحلیل علامت

4 - محاسبه ی حد با گویا کردن

5 - محاسبه ی حد در بی نهایت

6 - حد شامل قدر مطلق

13 مثال در انیمیشن زیر در مورد موارد بالا برایتان آورده ام که با دقت حل آن ها را دنبال کنید :

در مورد قضیه ی وجود حد در یک نقطه بهتر است به مثال زیر توجه کنید که در مورد یک تابع دو ضابطه ای است :

قبل هر چیز بهتر است با توجه به مفهوم قدر مطلق که معمولاً بچه ها در حد گیری از عبارات قدر مطلقی مشکل دارند یک مثال پایه ای را با هم ببینیم :

حال به مثال زیر توجه کنید که در آن حد چپ و راست برابر نمی شود و حد در نقطه ی مورد نظر موجود نمی باشد :

در نهایت در مباحث بعدی متوجه خواهید شد که این مبحث انتزاعی که حاصل تفکر و ایده پردازی بزرگان ریاضی بوده چگونه تغییر و تحول چشمگیری در ریاضیات پدید می آورد و محاسبات دیفرانسیل و انتگرال از آن استنباط می شود .

این مطلب را صرفاً نوشتم که در آن بتوانم مفهوم حد را که معمولاً دانش آموزان فرق آن را با عدد گذاری نمی دانند را به نوعی تعبیر کرده باشم .

هر چه درک بهتری از مفاهیم ریاضی که در کنکور مطرح می شوند داشته باشید قطعاً بسیار قوی و مؤثر تر مطالب را به خاطر خواهید سپرد و در سر جلسه ی کنکور به خاطر خواهید آورد .

ارتباط با مؤلف مقاله : 09126434367

1 28

e-max.it: your social media marketing partner

نوشتن دیدگاه


تصویر امنیتی
تصویر امنیتی جدید

Phonenumber
logo-samandehi